Bài chính: Không gian vector

Trong vật lý, các vector cơ sở cho phép bất ki vector Euclid nào được biểu diễn dưới dạng độ dài và góc quay, dưới nhiều hướng khác nhau, dưới dạng định hướng trong không gian

Theo cách này, bất kỳ vector nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng các hình chiếu của nó lên các vector cơ sở của không gian ấy. Tổng quát hơn, các vector có thể ở cả dạng vector phức trong không gian Hilbert.

Biểu diễn bra và ket cho vector

Vector có thể biểu diễn ở dạng ket | B ⟩ {\displaystyle |B\rangle } luôn là các vector cột (đọc là "ket-A")[4]

| B ⟩ ≐ ( B 1 B 2 ⋮ B N ) {\displaystyle |B\rangle {\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}

Tương tự như vậy, các vector cũng thể có thể biểu diễn dưới dạng bra, nhưng chỉ đối với các vector hàng

⟨ A | ≐ ( A 1 ∗ A 2 ∗ ⋯ A N ∗ ) {\displaystyle \langle A|{\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}}

A i ∗ {\displaystyle A_{i}^{*}} là liên hợp phức của A i {\displaystyle A_{i}} . Chuyển vị liên hợp của một bra là ket và ngược lại:

⟨ A | † = | A ⟩ , | A ⟩ † = ⟨ A | {\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}

Vì thế, để chuyển một bra thành ket hay ngược lại, ta chỉ cần thực hiện phép lấy liên hợp tất cả phần tử rồi thực hiện phép chuyển vị.

Những biểu tượng, ký tự hay từ được sử dụng như dạng các nhãn cũng được sử dụng tương tự trong ket và bra. | B ⟩ {\displaystyle |B\rangle } và ⟨ A | {\displaystyle \langle A|} có ý nghĩa toán học phổ quát và đặc thù còn A và B thì không. Ngoài ra, để cho tiện sử dụng, bên trong ket các nhãn có thể có sự sắp đặt, chẳng hạn như toán tử năng lượng trong cơ học lượng tử thông qua danh sách số lượng tử.

Tuy nhiên, không giống như các đối tượng toán học khác, ket không cần các vector cơ sở xác định.[5] Vì thế thay vì dùng = {\displaystyle =} ta sẽ dùng ≐ {\displaystyle {\doteq \!\,}} (hiểu dưới nghĩa "biểu diễn dưới dạng").

Tích trong

Bài chính: Tích vô hướng

Tích vô hướng là tổng quát hóa của tích chấm khi kết qua nhân hai vector là một số phức. Ký hiệu Bra-ket biểu diễn tích vô hướng dưới dạng

( ⟨ A | ) ( | B ⟩ ) = ⟨ A | B ⟩ = the inner product of ket  ⟨ A |  with ket  | B ⟩ {\displaystyle \left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right)=\langle A|B\rangle ={\text{the inner product of ket }}\langle A|{\text{ with ket }}|B\rangle }

Ví dụ, ở trong không gian 3 chiều tích trên sẽ là

⟨ A | B ⟩ ≐ A x ∗ B x + A y ∗ B y + A z ∗ B z {\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq \!\,A_{x}^{*}B_{x}+A_{y}^{*}B_{y}+A_{z}^{*}B_{z}}

Trong trường hợp đặc biệt:

⟨ A | A ⟩ ≐ | A x | 2 + | A y | 2 + | A z | 2 {\displaystyle \langle A|A\rangle \doteq \!\,|A_{x}|^{2}+|A_{y}|^{2}+|A_{z}|^{2}}

Như công thức biến đổi trên, bra có thể hiểu gần như là hàm tuyến tính hay của ket, tức là đầu vào là một ket và đầu ra là một số phức.

Trạng thái chưa chuẩn hóa và không gian phi Hilbert

Ký hiệu bra-ket có thể sử dụng cho cả những không gian phi Hilbert. Ví dụ đối với các hàm sóng có định mức vô hạn trong cơ học lượng tử.

Ngoài ra, với những trạng thái chưa chuẩn hóa thì bra-ket vẫn có thể áp dụng, theo D. Carfi.[6][7][8][9] Và cả không gian Banach, một tổng quát hóa của không gian Hilbert.